本色上，上一篇张量绸缪的内容就还是先容过什么是对偶空间和张量了。但此次我又再行整理了一下，况兼新增了张量积的内容欧美性，让内容愈加齐全少许。

此次的内容有：

线性映射和线性空间：

线性映射是指从一个向量空间V映射到另一个向量空间W的映射f，倨傲两个要求：关于苟且标量α和苟且向量v，有f(αv) = αf(v)；关于苟且向量u和v，有f(u + v) = f(u) + f(v)。

线性空间是界说了加法和标量乘法的围聚，倨傲一系列公理，如阻滞性、连合律、交换律、存在零元素和逆元素、标量乘法的分派律等。

对偶空间：

对偶空间V*是原线性空间V的对偶，由总计从V到实数域R的线性映射构成。

对偶空间的元素（对偶向量）不错看作是将原空间中的向量映射到实数的线性函数。

对偶空间具有与原空间换取的维度，况兼两者之间存在当然的同构干系。

对偶空间的加法和数乘界说为：(ω + η)(u) = ω(u) + η(u)，(αω)(u) = αω(u)。

张量的界说：

张量是一个从对偶空间的乘积空间到实数域R的多重线性映射欧美性，记作T: V*^k × V^l → R。

张量不错看作是具有多个上标和下倡导量，其中上标暗意对偶空间的维度，下标暗意原空间的维度。

张量不错暗意为基底的张量积和相应的重量（或称为张量的坐标）。

张量的基底和重量：

张量不错暗意为其基底的线性组合，举例，(1，1)型张量T不错暗意为T = T_ij * e_i ⊗ θ_j，其中e_i和θ_j分手是原空间和对偶空间的基底，T_ij是张量T在这些基下面的重量。

张量的维度由其基底的数目决定，(k， l)型张量的维度是k*l。

张量积：

张量积是构造高阶张量的基本用具，它将两个低阶张量组合成一个新的高阶张量。

张量积倨傲分派律和连合律，但不倨傲交换律。

张量积不错用来暗意张量的基底，举例，(1，1)型张量的基底不错暗意为e_i ⊗ θ_j。

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张量与线性变换：

当原空间V中的基底经由线性变换A变为新的基底e'_i时，对偶空间V*中的对偶基底也会经由相应的变换A^(-1)变为新的对偶基底θ'_i。

张量在基底变换下的重量也会随之变换，举例，(1，1)型张量的重量T_ij会变换为T'_ij = A_ik * T_kj * (A^(-1))_ji。

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